Sviluppo in fratti semplici

Lezione di Matematica (Prof. G. Maimone)

Scomposizione in fratti semplici di funzione razionale fratta che presenta

poli[PM1] multipli semplici in p = p₁.

Facciamolo per un polo avente moltiplicità n = 4 e poi generalizzeremo.

Sia:

Moltiplicando ambo i membri per (p-p₁)⁴ si ha:

1)

da cui facendo il limite di ambo i membri per p che tende a p₁ si trova subito A₁

Si faccia adesso la derivata prima di ambo i membri della 1):

2)

e procedendo col limite di ambo i membri per p che tende a p₁ si trova A₂.

Si continui adesso a derivare la 2):

3)

da cui:

e quindi per p che tende a p₁ si ha :

derivando ancora la 3) :

da cui:

Per A₂ s’è fatta la derivata prima e poi il limite, per A₃ la derivata seconda

e la successiva divisione per 2, per A₄ la derivata terza e la successiva divisione per 6 = 3 x 2 = 3! [PM2] .

Generalizzando per un polo di ordine n, per il calcolo del generico coefficiente A_k si può scrivere:

La formula si può ritenere valida anche per k=1 assumendo 0! = 1 e la derivata di ordine zero

come la funzione derivanda stessa.

Giuseppe Maimone

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[PM1]Sono singolarità della funzione, ossia valori della variabile p in corrispondenza dei quali la funzione tende all’infinito.

[PM2]Si legge tre fattoriali. Ad esempio 5! = 1x2x3x4x5 = 120 ed il punto esclamativo sta ad indicare la meraviglia per il fatto che il prodotto aumenta rapidamente.