Sviluppo in fratti semplici

 

Lezione di Matematica (Prof. G. Maimone)

 

Scomposizione in fratti semplici di funzione razionale fratta che presenta

poli[PM1]    multipli semplici in p = p1.

Facciamolo per un polo avente moltiplicità n = 4 e poi  generalizzeremo.

 

Sia:  

 

Moltiplicando ambo i membri per (p-p1)4 si ha:

 

1)

 

da cui facendo il limite di ambo i membri per p che tende a  p1  si trova subito A1

 

    

 

Si faccia adesso la derivata prima di ambo i membri della 1):

 

2)    

 

e procedendo col limite di ambo i membri per  p che tende  a  p1  si trova A2.

 

 

Si continui adesso a derivare la 2):

 

3)   

 

da cui:

 

 

e quindi per  p che tende  a  p1  si ha :

 

 

 

derivando ancora la 3) :

 

 

 

 

da cui:

 

 

Per A2 s’è fatta la derivata prima e poi il limite, per A3 la derivata seconda

e la successiva divisione per  2, per A4 la derivata terza e la successiva divisione per  6 = 3 x 2 = 3! [PM2] .

 

Generalizzando per un polo di ordine n, per il calcolo del generico coefficiente Ak  si può scrivere:

 

 

 

La formula si può ritenere valida anche per  k=1 assumendo  0! = 1 e la derivata di ordine zero

come la funzione derivanda stessa.

 

                                                                Giuseppe Maimone

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 [PM1]Sono singolarità della funzione, ossia valori della variabile p in corrispondenza dei quali la funzione tende all’infinito.

 [PM2]Si legge tre fattoriali. Ad esempio 5! = 1x2x3x4x5 = 120 ed il punto esclamativo sta ad indicare la meraviglia per il fatto che il prodotto aumenta rapidamente.